В работе рассматриваются достижения М.А. Красносельского в сфере нелинейного функционального анализа; хронологические рамки исследования охватывают период с конца 1940-х по конец 1960-х гг. Анализ результатов основателя воронежской математической школы проводится в историко-математическом разрезе с отсылкой на работы его предшественников: П.С. Урысона, А.И. Некрасова, В. Орлича, Ю. Шаудера, Ж. Лере, М. Голомба, Л.В. Канторовича, В.В. Немыцкого, М.Г. Крейна, М.А. Рутмана и др. Автор использует несколько подходов к исследованию научного наследия М.А. Красносельского: презентистский, когда анализ его работ проводится с позиций современной математики, антикваристский, когда используется контекст времени получения результата, и, отчасти, научно-школьный. Последний предполагает оценивание результатов главного действующего лица с позиций реализации научно-исследовательской программы, включающей в себя достижения его учеников. В их роли здесь выступают Я.Б. Рутицкий, Л.А. Ладыженский, И.А. Бахтин, А.И. Поволоцкий, П.П. Забрейко, Ю.В. Покорный и др. Повышенное внимание уделяется результатам, полученным М.А. Красносельским в области теории положительных операторов (аналоги теорем Урысона и Рутмана, конусная теорема о неподвижной точке, теорема о существовании нескольких решений в конусе и др.), топологических и вариационных методов (принцип неподвижной точки, признак критической точки, бифуркационная теорема, принцип смены индекса и др.), а также приближённых методов решения нелинейных операторных уравнений (теоремы о сходимости метода последовательных приближений в конусе, топологическое обоснование проекционного метода и др.). Приводятся варианты практического применения результатов Красносельского в области нелинейной механики и теории волн.
This paper investigates the seminal work of M.A. Krasnoselskii in the field of nonlinear functional analysis; the chronological framework of the study covers the period from the late 1940s to the late 1960s. The analysis of the results of the founder of the Voronezh mathematical school is carried out from the historical-mathematical perspective with reference to the works of his predecessors: P.S. Urysohn, A.I. Nekrasov, V. Orlicz, J. Schauder, J. Leray, M. Golomb, L.V. Kantorovich, V.V. Nemytskii, M.G. Krein, M.A. Rutman, and others. The author uses several approaches to research of the scientific heritage of M.A. Krasnosel'skii: the presentist one, when his work is analyzed from the standpoint of modern mathematics, antiquarian one, when the context of the time of obtaining the result is used, and partly scientific-scholastic one. The latter involves evaluating the results of the main actor from the point of view of the implementation of the research program, including the achievements of his students. The following authors play their role here: Ya.B. Rutitskii, L.A. Ladyzhenskii, I.A. Bakhtin, A.I. Povolotskii, P.P. Zabreiko, Yu.V. Pokorny, and others. Particular attention is paid to the results obtained by M.A. Krasnosel'skii in the field of positive operator theory (analogs of the theorems of Urysohn and Rutman, the cone fixed point theorem, the theorem on the existence of several solutions in a cone, etc.), topological and variational methods (the fixed point principle, the critical point criterion, the bifurcation theorem, the index change principle, etc.), as well as approximate methods for solving nonlinear operator equations (theorems on the convergence of the method of successive approximations in a cone, topological justification of the projection method, etc.). Variants of practical application of Krasnosel'skii's results in the field of nonlinear mechanics and wave theory are given.