Очерк достижений М.А. Красносельского в области нелинейного функционального анализа (1950-1960-е гг.)

В работе рассматриваются достижения М.А. Красносельского в сфере нелинейного функционального анализа; хронологические рамки исследования охватывают период с конца 1940-х по конец 1960-х гг. Анализ результатов основателя воронежской математической школы проводится в историко-математическом разрезе с отсылкой на работы его предшественников: П.С. Урысона, А.И. Некрасова, В. Орлича, Ю. Шаудера, Ж. Лере, М. Голомба, Л.В. Канторовича, В.В. Немыцкого, М.Г. Крейна, М.А. Рутмана и др. Автор использует несколько подходов к исследованию научного наследия М.А. Красносельского: презентистский, когда анализ его работ проводится с позиций современной математики, антикваристский, когда используется контекст времени получения результата, и, отчасти, научно-школьный. Последний предполагает оценивание результатов главного действующего лица с позиций реализации научно-исследовательской программы, включающей в себя достижения его учеников. В их роли здесь выступают Я.Б. Рутицкий, Л.А. Ладыженский, И.А. Бахтин, А.И. Поволоцкий, П.П. Забрейко, Ю.В. Покорный и др. Повышенное внимание уделяется результатам, полученным М.А. Красносельским в области теории положительных операторов (аналоги теорем Урысона и Рутмана, конусная теорема о неподвижной точке, теорема о существовании нескольких решений в конусе и др.), топологических и вариационных методов (принцип неподвижной точки, признак критической точки, бифуркационная теорема, принцип смены индекса и др.), а также приближённых методов решения нелинейных операторных уравнений (теоремы о сходимости метода последовательных приближений в конусе, топологическое обоснование проекционного метода и др.). Приводятся варианты практического применения результатов Красносельского в области нелинейной механики и теории волн.

Благодарности: автор выражает благодарность руководителю семинара «Истории воронежской математики» С.Н. Ушакову (ВГУ), который пригласил автора сделать доклад на тему, указанную в названии статьи; участникам этого семинара за интерес к работе, а также профессору А.М. Красносельскому за доступ к электронному научному архиву М.А. Красносельского.

Ключевые слова:
М.А. Красносельский, нелинейный функциональный анализ, отечественные математики, воронежские математики
Богатов Егор Михайлович - кандидат физико-математических наук; доцент
Филиал Национального исследовательского технологического университета «МИСИС» в г. Губкине Белгородской области; Старооскольский технологический институт им. А.А. Угарова (филиал) Национального исследовательского технологического университета «МИСИС»
309186, г. Губкин, Белгородская область, ул. Комсомольская, д. 16; 309516, г. Старый Оскол, Белгородская обл., м-он им. Макаренко, д. 42
Россия
  1. Асарин Е.А., Бахтин И.А и др. Памяти М.А. Красносельского (некролог). 1997. [Интернет-ресурс]. Режим доступа URL: http://www.krasnoselskii.iitp.ru/obitrus.html (дата обращения 06.08.2025)
  2. Бахтин И.А., Красносельский М.А. К задаче о продольном изгибе стержня переменной жёсткости // ДАН СССР. 1955. Т.105. № 4. С. 621–624.
  3. Бахтин И.А., Красносельский М.А. Метод последовательных приближений в теории уравнений с вогнутыми операторами // Сибирский мат. журнал. 1961. Т. 2. № 3. С. 313–330.
  4. Богатов Е.М. М.А. Красносельский – человек, педагог, математик. Интервью с М.И. Каменским от 29.01.2020, неопубликованная часть.
  5. Богатов Е.М. Об истории положительных операторов (1900-е–1960-е гг.) и вкладе М.А. Красносельского // Научные ведомости БелГУ. Сер. Прикладная матем., физ. 2020a. Т. 52. № 2. С. 105–127.
  6. Богатов Е.М. Об истории вращения векторных полей / Институт истории естествознания и техники им. С.И. Вавилова. Годичная научная конференция, 2020. М.: ИИЕТ РАН. 2020b. С. 166–170.
  7. Богатов Е.М. Очерки по истории и предпосылкам развития нелинейного функционального анализа до начала 1970-х гг. и достижений российских и советских математиков: монография / Под ред. А.В. Боровских. М.: РУСАЙНС, 2025.
  8. Богатов Е.М., Боровских А.В. Математические мыслительные средства в истории математики (на материале теории положительных операторов) // Вопросы истории естествознания и техники. 2025. Т. 46. № 2. С. 235–251.
  9. Богатов Е.М., Лагачева А.А., Новикова М.Е. О некоторых малоизвестных подробностях жизни математика М.А. Красносельского в годы ВОВ / Будущее науки - 2020: Сб. научных статей 8-й Международной молодежной научной конф.: в 5 томах, Курск, 21–22 апреля 2020 года. Том 2. Курск: Юго-Западный гос. университет, 2020. С. 29-32.
  10. Богатов Е.М., Мухин Р.Р. О развитии нелинейных интегральных уравнений на раннем этапе и вкладе отечественных математиков // Чебышевcкий сборник. 2021. Т. 22. Вып. 3. С. 312–345.
  11. Вайнберг М. М. Вариационные методы исследования нелинейных операторов. М.: ГИТТЛ. 1956.
  12. Гриценко В.А. «Человеческое существование без математики сегодня трудно, а завтра будет просто невозможно». Интервью с доктором физ.-мат. наук, профессором НИУ ВШЭ В.А. Гриценко 08.08.2025 [Интернет-ресурс]. Режим доступа URL: https://www.hse.ru/news/1074247874.html (дата обращения 22.08.2025)
  13. Забрейко П.П. М.А. Красносельский – мой учитель и друг / В сб. Марк Александрович Красносельский. К 80-летию со дня рождения. М.: ИППИ РАН. 2000. С.28–54.
  14. Забрейко П.П., Красносельский М.А. О вычислении индекса изолированной неподвижной точки вполне непрерывного векторного поля // Доклады АН СССР. 1961. Т.141:2. С. 292–295.
  15. Забрейко П.П., Красносельский М. А. Вычисление индекса неподвижной точки векторного поля // Сиб. матем. журн. 1964. Т.5:3. С. 509–531.
  16. Забрейко П.П., Красносельский М.А., Покровский А.В. К задаче о точках бифуркации // Проблемы математического анализа сложных систем. Вып. 2. Воронеж. ВГУ. 1968. С. 41–56.
  17. Зельдович Я.Б. Математическая теория горения и взрыва / Я.Б. Зельдович, Г.И. Баренблатт, В.Б. Либрович, Г.М. Махвиладзе. М: Наука, 1980.
  18. Митропольский Ю.А., Бреус К.А. Институт математики Академии наук УССР к пятидесятилетию Советской власти // Украинский математический журнал. 1967. Том 19. С. 3–15.
  19. Канторович Л.В. Функциональный анализ и прикладная математика // Успехи математических наук. 1948. Т. 3:6. № 28. С. 89–185.
  20. Канторович Л.В. Мой путь в науке (предполагавшийся доклад в Московском математическом обществе) // Успехи математических наук. 1987. Т. 42:2. № 254. С. 183–213.
  21. Коллатц Л. Задачи на собственные значения. М.: Наука, 1968.
  22. Колмогоров А.Н., Красносельский М.А. Марк Григорьевич Крейн (к пятидесятилетию со дня рождения) // Успехи математических наук. 1958. Том 13. Выпуск 3(81). С. 213–224.
  23. Красносельский М.А. Исследования по нелинейному функциональному анализу: диссертация ... доктора физико-математических наук: 01.00.00. Киев, 1950.
  24. Красносельский М.А. Сходимость метода Галёркина для нелинейных уравнений // ДАН СССР. 1950а. Т. 73. № 6. С. 1121–1124.
  25. Красносельский М.А. К задаче о точках бифуркации // ДАН СССР. 1951a. Т. 79. № 3. C. 389–392.
  26. Красносельский М.А. К теории вполне непрерывных векторных полей // Украинский мат. журнал. 1951b. Т. III. № 2. С. 174–183.
  27. Красносельский М.А. Расщепление операторов, действующих из пространства Lq в пространство Lp. // ДАН СССР. 1952. LXXXII. 3. С. 333–336.
  28. Красносельский М.А. Новые теоремы существования решений у нелинейных интегральных уравнений // ДАН СССР. 1953. Т. 88. № 6. С. 949–952.
  29. Красносельский М.А. Некоторые задачи нелинейного анализа // Успехи математических наук. 1954. Т.9:3. № 61. С. 57–114.
  30. Красносельский М.А. Топологические методы в теории интегральных уравнений. М.: ГИТЛ. 1956.
  31. Красносельский М.А. Об уравнении Некрасова в теории волн на поверхности тяжёлой жидкости // ДАН СССР. 1956а. Т. 109. С. 456–459.
  32. Красносельский М.А. Рассмотрение спектра нелинейного оператора в окрестности точки бифуркации и применения к задаче о продольном изгибе сжатого стержня // Успехи математических наук. 1957. Т. 12:1. № 73. С. 203–208.
  33. Красносельский М.А. Неподвижные точки операторов, сжимающих или растягивающих конус // ДАН СССР. 1960. 135:3. С. 527–530.
  34. Красносельский М.А. Положительные решения операторных уравнений. М.: ФИЗМАТГИЗ, 1962.
  35. Красносельский М.А., Бурд В.Ш., Колесов Ю.С. Нелинейные почти периодические колебания. М.: Наука, 1970.
  36. Красносельский М.А., Вайникко Г.М., Забрейко П.П., Рутицкий Я.Б., Стеценко В.Я. Приближенное решение операторных уравнений. М.: Наука, 1969.
  37. Красносельский М.А., Ладыженский Л.А. Структура спектра положительных неоднородных операторов // Труды ММО. 1954. Вып. 3. С. 321–346.
  38. Красносельский М.А. Два замечания о методе последовательных приближений //Успехи математических наук. 1955. Т.10:1. № 63. С. 123–127.
  39. Красносельский М.А., Люстерник Л.А. О топологических методах нелинейного анализа // Труды III Всесоюзного Математического съезда. Москва. 1958. Том 3. С. 373–383.
  40. Красносельский М.А., Поволоцкий А.И. К вариационным методам в задаче о точках бифуркации // ДАН СССР. 1953. Т. 91. №1. С. 19 –22.
  41. Красносельский М.А., Покровский А.В. Системы с гистерезисом. М.: Наука, 1983.
  42. Красносельский М.А., Рутицкий Я.Б. Выпуклые функции и пространства Орлича. М.: ГИФМЛ. 1958.
  43. Красносельский М.А., Стеценко В.Я. О некоторых нелинейных задачах, имеющих много решений // Сиб. мат. Журнал. 1963. 4.1. С. 120–137.
  44. Красовский Ю.П. К теории установившихся волн немалой амплитуды // ДАН СССР. 1960. 130:6. С. 1237–1240.
  45. Крейн М.Г., Рутман М.А. Линейные операторы, оставляющие инвариантным конус в пространстве Банаха // Успехи математических наук. 1948. Т. 3:1. № 23. С. 3–95.
  46. Митропольский Ю.А., Бреус К.А. Институт математики Академии наук УССР к пятидесятилетию Советской власти // Украинский математический журнал. 1967. Том 19. С. 3–15.
  47. Марк Александрович Красносельский. К 80-летию со дня рождения. Сб. статей. М.: ИППИ РАН. 2000.
  48. Назаров Н.Н. Нелинейные интегральные уравнения типа Гаммерштейна // Труды Среднеазиат. гос. ун-та. Серия V-а. Математика. 1941. Вып. 33. С. 1–79.
  49. Некрасов А.И. О волнах установившегося вида. Гл.2. О нелинейных интегральных уравнениях // Изв. Иваново-Вознесен. политехн. ин-та. 1922. Вып. 6. С. 155–171.
  50. Немыцкий В.В. Теоремы существования и единственности для нелинейных интегральных уравнений // Матем. сборник. 1934. Т.41. №3. С.421–452.
  51. Немыцкий В.В. Об одном общем классе нелинейных интегральных уравнений // Матем. сборник. 1934а. Т.41. № 4. С.655–658.
  52. Покорный Ю.В. О В-положительных и В-монотонных операторах // Проблемы мат. анализа сложных систем. ВГУ. 1967. Вып. 1. С. 58–63.
  53. Покорный Ю.В. Краткий очерк научной, педагогической и общественной деятельности С.И. Соболева / В сб. Владимир Иванович Соболев в воспоминаниях коллег и учеников. К 100-летию со дня рождения. Воронеж: Наука-Юнипресс, 2014. С. 79–82.
  54. Самойленко А.М. Н.Н. Боголюбов и нелинейная механика // Успехи математических наук. 1994. 49:5(299). С. 103–146.
  55. Ясинский Ф.С.Избранные работы по устойчивости сжатых стержней. М.: ГИТТЛ, 1952.
  56. Amann H. On the number of solutions of nonlinear equations in ordered Banach spaces // Journal of functional analysis. 1972. Vol. 11. Iss. 3. Pp. 346–384.
  57. Brouwer L. E. J. Über Abbildung von Mannigfaltigkeiten // Math. Annal. 1912. 71. 97–115.
  58. Brown R.F. The Krasnoselskii–Rabinowitz Bifurcation Theorem. In: A Topological Introduction to Nonlinear Analysis. Birkhäuser, Cham, 2014. https://doi.org/10.1007/978-3-319-11794-2_22
  59. Golomb M. Zur Theorie der nichtlinearen Integralgleichungen, Integralgleichungssysteme und allgemeinen Funktionalgleichungen. Math. Zeitschrift. 1935. V. 39. 45–75.
  60. Howlett J. (2025) New Proofs Probe the Limits of Mathematical Truth // Qunta magazine (Online) URL: https://www.quantamagazine.org/new-proofs-probe-the-limits-of-mathematical-truth-20250203/ Accessed 22.08.2025
  61. Kwong M.K. The topological nature of Krasnoselskii’s cone fixed point theorem // Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications. 2008. V. 69. Iss. 3. Pp. 891–897.
  62. Laetsch T. On the number of solutions of boundary value problems with convex nonlinearities // J. Math. Anal. Appl. 35 (1971). Pp. 389-404.
  63. Leray J. , Schauder J. Topologie et équations fonctionnelles // Ann. Sci. École Norm. Sup. 1934. V. 6. Pp. 45–73.
  64. Lichtenstein L. Vorlesungen über einige Klassen nichtlinearer Integralgleichungen und Integro-Differentialgleichungen nebst Anwendungen / Julius Springer. Berlin. 1931.
  65. Liu Y., Li Z. Krasnoselskii type fixed point theorems and applications // Proceedings of the American Mathematical Society. 2008. V. 136. Iss. 4. Pp. 1213-1220. DOI: 10.1090/S0002-9939-07-09190-3
  66. Newton I. De Analysi per aequationes numero terminorum infinitas (1669). [Интернет-ресурс]. https://www.newtonproject.ox.ac.uk/view/texts/normalized/NATP00204
  67. Orlicz W. Über Räume (LM) // Bull. Intern, de L'Acad. Pol. Cracovie. 1936. serie A. Pp. 93–107.
  68. Rabinowitz P.H. Some global results for nonlinear eigenvalue problems // Journal of functional analysis. 1971. V. 7. Iss. 3. Pp. 487–513.
  69. Ritz W. Über eine neue Methode zur Lösung gewisser Variationsprobleme der mathematischen Physik // J. Reine Angew. Math. 1909. V. 135. Pp. 1–61.
  70. Rothe E. Zur Theorie der topologischen Ordnung und der Vektorfelder in Banachschen Räumen // Compos. Math. 1938. V. 5. Pp. 177–197.
  71. Rothe E. Weak topology and nonlinear integral equations // Trans. Amer. Math. Soc. 1949. V. 66. Pp. 75–92.
  72. Schauder J. Zur Theorie stetiger Abbildungen in Funktionalräumen. Math. Zeitschr. 1927. V. 26. №. 1. 47–65.
  73. Ziedler E. Nonlinear Functional Analysis and its Applications I: Fixed-Point Theorems. Springer. New York. 1993.
Для цитирования:
Богатов Е. М. Очерк достижений М.А. Красносельского в области нелинейного функционального анализа (1950-1960-е гг.) // Cоntinuum. Математика. Информатика. Образование. 2025. № 4 (40). C. 119-143. https://doi.org/10.24888/2500-1957-2025-4-119-143