В статье решается задача о взаимном расположении четырёх замечательных прямых, связанных с трапецией. Каждая из них параллельна основаниям трапеции и обладает одним из следующих дополнительных свойств: 1) проходит через середины боковых сторон; 2) проходит через точку пересечения диагоналей; 3) делит исходную трапецию на две подобные трапеции; 4) делит исходную трапецию на две равновеликие трапеции. Приводятся два решения задачи ― экспериментальное и теоретическое. Обсуждаются достоинства и несовершенства каждого из них. Показано, что экспериментальное решение требует от школьника минимум теоретических знаний, доступно для учащихся с любым, даже низким, уровнем математической подготовки, способствует созданию ситуации успеха. В то же время, экспериментальное решение приводит всего лишь к гипотезе, пусть и весьма правдоподобной. В отличие от экспериментального, теоретическое решение даёт богатый, содержательный результат, прежде всего, полный и обоснованный ответ на вопрос. Кроме того, полученные в ходе решения формулы длин вспомогательных отрезков естественным образом вводят в математический обиход несколько средних величин двух положительных чисел: среднее арифметическое, среднее гармоническое, среднее геометрическое и среднее квадратичное. Наконец, выявляется связь решаемой задачи со знаменитым неравенством Коши о средних величинах. В то же время, теоретическое решение требует гораздо более серьёзного уровня математической подготовки: знания некоторых формул, умения преобразовывать условия геометрической задачи в алгебраическую форму, владения определённой алгебраической техникой. Главное в том, что именно синергия экспериментального и теоретического метода делает авторский подход актуальным и полезным для будущих исследований. Материал статьи может быть рекомендован для внеучебной работы со школьниками.